dimanche 28 janvier 2018

Abstraction et axiomatisation - Ferdinand Gonseth 1936 et Karl Marx 1845

C’est Parfait
L'essence du nombre n'est donc pas un « objet éternel » invariable et prédéterminé : elle varie selon le degré d'abstraction auquel on s'arrête. Nous voyons ainsi pleinement confirmées les conclusions auxquelles l'analyse du géométrique nous avait déjà conduits : Les axiomes ne suffisent pas pour fournir à eux seuls une définition complète des notions sur lesquelles ils légifèrent -ni explicitement, ni implicitement. Les axiomes qui font intervenir les notions de structure et de relation logiques ne font pas exception, car ces notions ne nous sont pas plus innées que les notions de droite ou de nombre ; elles doivent elles aussi être abstraites d'un certain ensemble de données plus ou moins concrètes ; elles doivent être conçues et ne sont que des schématisations dont l'essence n'a rien d'absolu.
Dire donc que l' « On peut circonscrire le domaine des mathématiques à l'étude des relations de structure », c'est revenir à l'idée que la forme pure existe en dehors et au-delà de ses réalisations ; c'est supposer que les structures sont des « objets éternels » ; c'est admettre que leur connaissance nous est directement accessible... en un mot c'est revenir pleinement au point de vue de Parfait.
Ferdinand Gonseth,   Les Mathématiques et la réalité : Essai sur la méthode axiomatique,
Alcan, Paris, 1936,  386 p.

Y-a-t-il des « mathématiciens spéculatifs » ?
Quand, opérant sur des réalités, pommes, poires, fraises, amandes, je me forme l'idée générale de « fruit »; quand, allant plus loin, je m'imagine que mon idée abstraite « le fruit », déduite des fruits réels, est un être qui existe en dehors de moi et, bien plus, constitue l'essence véritable de la poire, de la pomme, etc., je déclare — en langage spéculatif — que « le fruit » est la « substance » de la poire, de la pomme, de l'amande, etc. Je dis donc que ce qu'il y a d'essentiel dans la poire ou la pomme, ce n'est pas d'être poire ou pomme. Ce qui est essentiel dans ces choses, ce n'est pas leur être réel, perceptible aux sens, mais l'essence que j'en ai abstraite et que je leur ai attribuée, l'essence de ma représentation : « le fruit ». Je déclare alors que la pomme, la poire, l'amande, etc., sont de simples formes d'existence, des modes « du fruit ». Mon entendement fini, appuyé par mes sens, distingue, il est vrai, une pomme d'une poire et une poire d'une amande; mais ma raison spéculative déclare que cette différence sensible est inessentielle et sans intérêt. Elle voit dans la pomme la même chose que dans la poire, et dans la poire la même chose que dans l'amande, c'est-à-dire « le fruit ». Les fruits particuliers réels ne sont plus que des fruits apparents, dont l'essence vraie est « la substance », « le fruit ».On n'aboutit pas, de cette façon, à une particulière richesse de déterminations. Le minéralogiste, dont toute la science se bornerait à déclarer que tous les minéraux sont en fait le minéral, ne serait minéralogiste... que dans son imagination. Or en présence de tout minéral le minéralogiste spéculatif dit : « le minéral », et sa science se borne à répéter ce mot autant de fois qu'il y a de minéraux réels.
K. Marx, F. Engels, Critique de la critique critique  ou La Sainte Famille, Frankfurt, 1845.
Chapitre « Le mystère de la construction spéculative »

A la mémoire de Rudolf Bkouche qui aimait bien Marx et encore plus F. Gonseth.

26 Janvier 2018
Michel Delord

Abstraction et axiomatisation - Ferdinand Gonseth 1936 et Karl Marx 1845

C’est Parfait L'essence du nombre n'est donc pas un « objet éternel » invariable et prédéterminé : elle varie selon le degré d...